欧拉公式三种形式-初中欧拉公式因式分解

本文目录一览：

• 1、欧拉公式几种形式
• 2、三个欧拉公式
• 3、四个欧拉公式有哪些?
• 4、欧拉公式的三种形式
• 5、欧拉公式
• 6、欧拉公式欧拉方程是什么?

欧拉公式几种形式

欧拉公式的形式：R+V-E=2，在任何一个规则球面地图上，用R记区域个数，V记顶点个数，E记边界个数，则R+V-E=2，这就是欧拉定理，它于1640年由Descartes首先给出证明，后来Euler于1752年又独立地给出证明，我们称其为欧拉定理，在国外也有人称其为Descartes定理。

欧拉公式它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它不仅出现代数学分析里，而且在复变函数论里也占有非常重要的地位，更被誉为“数学中的天桥”。

三个欧拉公式

分式里的欧拉公式

a＾r/(a-b)(a-c)+b＾r/(b-c)(b-a)+c＾r/(c-a)(c-b)

当r=0,1时式子的值为0当r=2时值为1

当r=3时值为a+b+c

e^ix=cosx+isinx，e是自然对数的底，i是虚数单位。它将三角函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位。

e^ix=cosx+isinx的证明：

因为e^x=1+x/1！+x^2/2！+x^3/3!+x^4/4!+??

cosx=1-x^2/2!+x^4/4!-x^6/6!??

sinx=x-x^3/3!+x^5/5!-??

在e＾x的展开式中把x换成±ix.(±i)^2=-1,(±i)^3=_i,(±i)^4=1??（注意：其中”_”表示”减加”）

e^±ix=1±x/1！-x^2/2！+x^3/3!_x^4/4!??

=(1-x^2/2!+??)±i(x-x^3/3!??)

所以e^±ix=cosx±isinx

将公式里的x换成-x，得到：

e^-ix=cosx-isinx，然后采用两式相加减的方法得到：sinx=(e^ix-e^-ix)/(2i)，cosx=(e^ix+e^-ix)/2.这两个也叫做欧拉公式。将e^ix=cosx+isinx中的x取作∏就得到：

e^iπ+1=0.这个恒等式也叫做欧拉公式

三角形中的欧拉公式：

设r为三角形外接圆半径，r为内切圆半径，d为外心到内心的距离，则：d＾2=r＾2-2rr

拓扑学里的欧拉公式

v+f-e=x(p)，v是多面体p的顶点个数，f是多面体p的面数，e是多面体p的棱的条数,x(p)是多面体p的欧拉示性数。

如果p可以同胚于一个球面（可以通俗地理解为能吹胀而绷在一个球面上），那么x(p)=2，如果p同胚于一个接有h个环柄的球面，那么x(p)=2-2h。

x(p)叫做p的欧拉示性数，是拓扑不变量，就是无论再怎么经过拓扑变形也不会改变的量，是拓扑学研究的范围。

四个欧拉公式有哪些?

四个欧拉公式：

（1）分式：a＾r/(a-b)(a-c)+b＾r/(b-c)(b-a)+c＾r/(c-a)(c-b)当r=0,1时式子的值为0当r=2时值为1当r=3时值为a+b+c

（2）复数由e＾iθ＝cosθ＋isinθ，得到：sinθ＝（e＾iθ－e＾－iθ）／2i cosθ＝（e＾iθ＋e＾－iθ）／2此函数将两种截然不同的函数－--指数函数与三角函数联系起来，被誉为数学中的“天桥”。当θ＝π时，成为e＾iπ＋1=0它把数学中最重要的e、i、π、1、0联系起来了。

（3）三角形设R为三角形外接圆半径，r为内切圆半径，d为外心到内心的距离，则：d＾2=R＾2-2Rr

（4）多面体设v为顶点数，e为棱数，f是面数，则v-e+f=2-2p p为亏格，2-2p为欧拉示性数，例如p=0的多面体叫第零类多面体p=1的多面体叫第一类多面体等等条莱垍头

欧拉公式的三种形式

三种形式分别是分式、复变函数论、三角形。

1、分式里的欧拉公式：a＾r/(a-b)(a-c)+b＾r/(b-c)(b-a)+c＾r/(c-a)(c-b)。

2、复变函数论里的欧拉公式：e^ix=cosx+isinx,e是自然对数的底,i是虚数单位。

3、三角形中的欧拉公式：设R为三角形外接圆半径,r为内切圆半径,d为外心到内心的距离,则：d＾2=R＾2-2Rr 。

三种形式可与理解为欧拉公式在不同的学科中有着不同的含义。

用数学归纳法证明欧拉公式：

一、当R= 2时，由说明1,这两个区域可想象为以赤道为边界的两个半球面，赤道上有两个“顶点”将赤道分成两条“边界”，即R= 2，V= 2，E= 2；于是R+ V- E= 2,欧拉定理成立。

二、设R= m(m≥2)时欧拉定理成立，下面证明R= m+ 1时欧拉定理也成立。

由说明2，我们在R= m+ 1的地图上任选一个区域X ,则X必有与它如此相邻的区域Y，使得在去掉X和Y之间的唯一一条边界后，地图上只有m个区域了。

在去掉X和Y之间的边界后，若原该边界两端的顶点现在都还是3条或3条以上边界的顶点，则该顶点保留，同时其他的边界数不变；若原该边界一端或两端的顶点现在成为2条边界的顶点，则去掉该顶点，该顶点两边的两条边界便成为一条边界。

于是，在去掉X和Y之间的唯一一条边界时只有三种情况：

1、减少一个区域和一条边界。

2、减少一个区域、一个顶点和两条边界。

3、减少一个区域、两个顶点和三条边界。

即在去掉X和Y之间的边界时，不论何种情况都必定有“减少的区域数＋减少的顶点数＝减少的边界数”我们将上述过程反过来（即将X和Y之间去掉的边界又照原样画上），就又成为R= m+ 1的地图了，在这一过程中必然是“增加的区域数＋增加的顶点数＝增加的边界数”。

因此，若R= m (m≥2)时欧拉定理成立，则R= m+ 1时欧拉定理也成立。

由一、和二、可知，对于任何正整数R≥2,欧拉定理成立。

以上内容参考百度百科—欧拉公式

欧拉公式

个人觉得欧拉公式应该是数学上最美妙的公式了，没有之一。它将自然对数，虚数，三角函数，双曲函数，圆周率 联系在了一起，欧拉公式一般形式如下：

敬仰欧拉大神！

欧拉公式的证明步骤

（带入-x）

通过上述两个等式，解出sinx和cosx

将 带入欧拉公式，有

欧拉公式欧拉方程是什么?

欧拉公式（英语：Euler's formula，又称尤拉公式）是复分析领域的公式，它将三角函数与复指数函数关联起来，因其提出者莱昂哈德·欧拉而得名。欧拉公式提出，对任意实数{displaystyle x}，都存在。

欧拉方程，即运动微分方程，属于无粘性流体动力学中最重要的基本方程，是指对无粘性流体微团应用牛顿第二定律得到的运动微分方程。欧拉方程应用十分广泛。1755年，瑞士数学家L.欧拉在《流体运动的一般原理》一书中首先提出这个方程。

扩展资料：

在物理学上，欧拉方程统治刚体的转动。我们可以选取相对于惯量的主轴坐标为体坐标轴系。这使得计算得以简化，因为我们如今可以将角动量的变化分成分别描述的大小变化和方向变化的部分，并进一步将惯量对角化。

在流体动力学中，欧拉方程是一组支配无粘性流体运动的方程，以莱昂哈德·欧拉命名。方程组各方程分别代表质量守恒（连续性）、动量守恒及能量守恒，对应零粘性及无热传导项的纳维－斯托克斯方程。历史上，只有连续性及动量方程是由欧拉所推导的。然而，流体动力学的文献常把全组方程——包括能量方程——称为“欧拉方程”。

参考资料来源：百度百科-欧拉方程